【数Ⅰ】勘に頼らずにできる!因数分解のツボ(1)

高校数学のツボ

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  • 因数分解を習ったけど,まだ勘に頼っている人
  • 公式以外,何をすればいいのかわからない人
  • ちょうど因数分解を習い始めた人

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因数分解に勘はいらない

高校1年生が数Ⅰの初めの方で学ぶ”因数分解”。

最初のうちは簡単に思えるので「何だ,中学生の時に習ったやつじゃん。高校の勉強って楽勝楽勝!」・・・なんて思った人はいませんか?

たしかに中学数学と共通するところもあるので初めは簡単かもしれません。

でも油断しているとあっという間に難しくなってわからなくなってしまいます。

因数分解は”作業”なので,手順通りにやればできるものです。今後いろんなところで使いますので,悩まずにできるように訓練しておきましょう。

長宮慶次
長宮慶次

シンジ君は,因数分解には苦労してない?

シンジ
シンジ

いやあ簡単な奴はできるんすけどね。ちょっと難しいヤツになると、できるときとできないときがあるんすよね。

長宮慶次
長宮慶次

そういう人は多いね。ただ、因数分解は計算するための重要な技術なので、できないときがあるのは困るね。

シンジ
シンジ

何かうまくいかないなあ,というときは、適当にこれかな?と勘で項を組み合わせてみるんすよ。それでうまくいくときもあるし。でも,うまく行かないときも多いっすよ。そんな時は,どうすればいいのかわからなくなるんすよね。

長宮慶次
長宮慶次

因数分解に勘はいらないよ。

シンジ
シンジ

えっ?そうなんすか?いつも勘で解いてるっスよ。冴えてるときは,ズバズバ解けるっス。

長宮慶次
長宮慶次

解けるときは解けるさ。でもそれがかえってよくないんじゃないかな。勘に頼った解き方しか知らなければ、勘で解けなかったときに打つ手がなくなってしまうだろう?

シンジ
シンジ

ううう…図星っス。

長宮慶次
長宮慶次

でも大丈夫。勘に頼らずに,因数分解を必ず解けるようになっておけばいいのさ。そのための因数分解のツボ、知りたい?

シンジ
シンジ

知りたい知りたい!それ知ってれば因数分解は困らなくなるんすね?

長宮慶次
長宮慶次

まあ、知識として知った後、練習は必要だけどね。少なくとも大学入試において因数分解に困ることはなくなるだろう。

シンジ
シンジ

ぜひ教えてください!

長宮慶次
長宮慶次

では因数分解のツボを,3つの段階に分けてお話ししていこうか。

〔1〕まずは括ることと基本公式

共通因数ですべての項を括る

長宮慶次
長宮慶次

まずはじめに考えることは,「共通因数で括ること」と「基本公式の利用」だ。「共通因数」は分かるかな?

シンジ
シンジ

同じものっスよね?\(ab\)と\(ac\)なら,\(a\)が共通因数,みたいな。

長宮慶次
長宮慶次

まあそうだ。1つの数を,2つ以上の数の掛け算で表したときに,その1つ1つを因数と呼ぶ。例えば\(ab+ac=a(b+c)\)のように,因数が共通な項はその因数で括ることができるよね。最初に括るときには,すべての項の共通因数を探して括るようにしましょう。

シンジ
シンジ

ふむふむ。

基本公式を利用する

長宮慶次
長宮慶次

知ってるとは思うけど,一応基本公式を挙げておこう。すべて覚えておいて,自由自在に利用できなければいけないよ。

因数分解の基本公式

\( \begin{align*} a^2 \pm 2ab+b^2=&(a \pm b)^2 \\ a^2-b^2=&(a-b)(a+b) \\ a^3 \pm b^3=&(a \pm b )^3 \mp 3ab(a \pm b) \\ =&(a \pm b)(a^2 \mp ab +b^2 ) \\ x^2 +(a+b)x +ab=&(x+a)(x+b) \\ acx^2+(ad+bc)x +bd=&(ax+b)(cx+d) \\ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=&(a+b+c)^2 \end{align*} \)

長宮慶次
長宮慶次

4行目や5行目のたすき掛けを利用する因数分解はちょっと難しいかも。先生が黒板にこんな風に書いて説明していないかな?

シンジ
シンジ

ああ,見たことあるっス。

長宮慶次
長宮慶次

この黄色で書かれたところ,何でこれで解けるのか意味はわかってるかな?

シンジ
シンジ

いや意味と言われても・・・これで解けると習っただけで、意味なんか考えたこともないっス。

長宮慶次
長宮慶次

これ,実はただカッコを縦に並べて書いてるだけなんだ。そのとき、カッコなどを省略して数字しか書いていないので,意味がわからなくなったんだろうね。僕がわかりやすいように書き加えてあげよう。

シンジ
シンジ

ああなるほど!かっこを展開したときにかけ合わせる4つの計算を,縦と斜めでやってるだけか。だから右に出てきた2つは足し合わせてるのか。

長宮慶次
長宮慶次

わかったかな?これでもうたすき掛けもうまくできるようになるだろう。多少試行錯誤は必要だけど,自分が何をやっているかがわかれば,そんなに大変なことではないしね。

長宮慶次
長宮慶次

あと,3行目の3乗たす3乗の因数分解なんだけど,因数分解の途中に出てくる式も大切なので載せておいたよ。和と積の形になっているので、対称式の問題などに使えます。これも入試ではよく出てくるので大切です。

シンジ
シンジ

おお,なんか因数分解のことがわかってきた気がする。これが3つの段階のうちの1つ目ですね。じゃあ次の2つ目に行きましょう!

長宮慶次
長宮慶次

うーん,そう思っていたんだけど,ちょっと長くなったので続きはまたね。

シンジ
シンジ

ええっ!またっすかあ!いつもいつも焦らしてばっかり。。。性格悪いっすね。

長宮慶次
長宮慶次

ははは,バレちゃった?

この記事のまとめ

POINT

  • 勘に頼らずに因数分解できるようになることを目指そう
  • 共通因数を見抜いて括ることができるようになろう
  • 基本公式はいずれも自由自在に利用できるようになろう

次の記事はこちらです。

「勘に頼らずにできる!因数分解のツボ(2)」最も重要!次数の低い文字について整理する

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