【数Ⅲ】積の微分と商の微分の公式はここまで勉強しておこう!

高校数学のツボ

  • 「公式は知っていると思うけど,イマイチ自信がない・・・」
  • 「勉強はしてるんだけど,点数が伸びない・・・」

高校数学を勉強していて,そんな悩みはありませんか?

まずは,高校数学の公式をあやふやにしていないか,しっかりと確認しましょう。

でもそれだけではダメ。点数を伸ばすためには,さらに必要なことがあります。

それは・・・

教科書に載っていないかもしれないけれど,実戦的に使える知識を増やすことです!

この記事を読んで,あなたの成績を伸ばすきっかけをつかみましょう!

 

この記事が役に立つ人

  • 積の微分・商の微分を学んだ高校生・受験生
  • 実戦的な知識が身についていない高校生・受験生

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積の微分

公式を確認しよう

積の微分公式 \begin{align*} \left\{ f(x)g(x) \right\}’ =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align*}

この公式は比較的覚えやすい方だと思います。使い方も,さほど難しくありません。

普通はまあこれで終わりなんですが,実戦的には次の公式まで頭に入れておくと良いでしょう。

 

3つの積でも微分できます

3つの積の微分公式

\begin{align} \left\{ f(x)g(x)h(x) \right\}’=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) \end{align}

【証明】 \begin{align*} \left\{ f(x)g(x)h(x) \right\}’&=\left\{ f(x)g(x) \right\}’h(x) +\left\{ f(x)g(x) \right\}h'(x) \\ &=\left\{f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \right\}h(x) +\left\{ f(x)g(x) \right\}h'(x) \\ &=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) \end{align*}

面白いと思いませんか?

要するに,積の形を微分するときは,一つずつ微分したものを足しあわせればよいのです。

もちろん,3つでなく4つ,5つ,・・・と増えても同じことです。

これはときどき入試問題で出題されますし,計算過程で使える場面もあります。教科書に載っていなくても,このあたりまで知っておきましょう。

 

商の微分

公式を確認しよう

次は商の微分です。

商の微分 \begin{align*} \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}’=\frac{ f'(x)g(x)-f(x)g'(x) }{ \left\{ g(x) \right\}^2 } \end{align*}

商の微分は計算ミスが多い公式の一つです。

公式通り計算した例題を示しましょう。

関数\(~y=\dfrac{1+x^2}{1-x^2}\)を微分せよ。

【解答1】 \begin{align} y’&=\frac{ (1+x^2)'(1-x^2)-(1+x^2)(1-x^2)’}{(1-x^2)^2} &\cdots (1)\\ &=\frac{ 2x(1-x^2)-(1+x^2)\cdot (-2x)}{(1-x^2)^2} &\cdots (2)\\ &=\frac{2x \left\{ (1-x^2)+(1+x^2) \right\} }{(1-x^2)^2} &\cdots(3)\\ &=\frac{4x}{(1-x^2)^2} &\cdots(4) \end{align}

ミスを防ぐため,実戦的にはどんな知識・手法が必要でしょうか。

上の例題を見ながら考えていきましょう。

 

分子は微分するところとしないところを明確にする

まず,(1)(2)のところ,分子の微分したところと微分しなかったところを,明確に分けましょう。

いい加減な書き方をしてしまうと,ミスに繋がります。

慣れたら,(1)は書かなくてもいいかもしれません。

 

分母は展開しない

全体を通じて,分母は展開しないようにしましょう。

なぜなら,分母と分子が約分できることがあるからです。

そのときに分母を展開してしまっていると,約分できることに気付かず,面倒な計算をしなければならなくなります。

数学が苦手な人は,とりあえず展開はできる!と思って分母を展開してしまうことが多いようです。約分するために「分母は展開しない」ことを覚えておきましょう。

 

割ってから微分してもよい

分数の形を見たとき,分母と分子の次数を必ずチェックしましょう。

これは,数Ⅲの微分だけにとどまらず,あらゆる場面(例えば整数,積分,関数など)で使えます。

次のように,分子を分母で割ってから計算すると,分数の形がシンプルになり,計算しやすくなります。

【解答2】 \begin{align*} y=\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{-(1-x^2)+2}{1-x^2}=-1+\frac{2}{1-x^2} \end{align*} よって \begin{align*} y’&=\frac{ -2(1-x^2)’}{(1-x^2)^2} \\ &=\frac{4x}{(1-x^2)^2} \end{align*}

どうですか?かなり簡単になりましたね。ミスも減らせるのではないでしょうか。

 

積の微分で解いてもよい

商の形を積の形にし,商の微分ではなく,積の微分を用いることもできます。

商の微分ではよくミスする人も,積の微分だとミスが少なくなるでしょう。意外と有効です。

【解答3】 \begin{align*} y=\dfrac{1+x^2}{1-x^2}=\left( 1+x^2 \right) \left( 1-x^2 \right)^{-1} \end{align*} 積の微分公式を用いて \begin{align*} y’&=\left( 1+x^2 \right)’ \left( 1-x^2 \right)^{-1}+ \left( 1+x^2 \right) \left\{ \left( 1-x^2 \right)^{-1} \right\}’ \\ &=2x \left( 1-x^2 \right)^{-1}- \left( 1+x^2 \right) \left( 1-x^2 \right)^{-2}(-2x) \\ &=\left( 1-x^2 \right)^{-2} \left\{ 2x \left( 1-x^2 \right)+2x \left( 1+x^2 \right) \right\} \\ &=\frac{4x}{\left( 1-x^2 \right)^2} \end{align*}

括弧でくくるところを丁寧にやれば,比較的ミスが少ない手法だといえると思います。使ってみて下さい。

 

まとめ

いかがだったでしょうか。

今回は積の微分と商の微分の公式を確認しただけですが,実戦的な知識も一緒に学びました。

教科書にはあまり載っていませんが,ここまで知っておくと役立つ場面がキットあります。

微分は考えることよりも,正確に作業として行うことが重要です。

ミスを少なくするためには,今回学んだことも含めて自分なりのスタイルを作り上げなければなりません。

そのためには訓練が必要です。ドリルのようにたくさんの問題で練習しておきましょう。

 

この記事のまとめ

  • 積の微分と商の微分の公式をきちんと確認しよう
  • 3つ以上の積の微分も知っておこう
  • 商の微分では,分子の微分するところと微分しないところを明確にしよう
  • 分母は展開せず,約分できるところを探そう
  • 分子の次数が分母の字数以上のときは,割ってから微分することも考えよう
  • 分数を指数で表現し,商の微分を使わず積の微分を使ってみよう

この記事が,高校数学を学んでいる高校生・受験生の役に立つことを願っています!

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