【数Ⅲ】微分しなくてもグラフは描ける!グラフの概形をつかむコツ

高校数学のツボ

こんにちは!独学サポートコーチ長宮慶次です。

グラフを描くのが面倒くさいなあ・・・と感じたことはありませんか?

数Ⅱまでなら,3次関数や4次関数だから,概形はすぐに分かります

でも数Ⅲになると,複雑な関数は式を見ただけでは,グラフの概形が分かりませんよね

「だから面倒くさくても,微分して増減表を描かなきゃなあ・・・」

いえいえ,実は,式を見ればグラフの概形は分かるのです。微分しなくても。

その方法をお伝えしましょう

 

この記事が役に立つ人
  • すぐにグラフの概形をつかみたい人
  • 微分したくない人
  • 「グラフを描け」という問題では使えません。そのときはちゃんと微分して求めましょう。

     

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    微分せずにグラフを描く手順

    まずは手順を確認しましょう。そのあと,具体的な関数で練習をしてみます。

    手順は以下の通りです。

    1. 定義域を確認する
    2. \(~x~\)軸,\(y~\)軸との交点を確認し,グラフが存在する領域を確定する
    3. 極限を,大まかに調べる

    これでOK。大体の形はつかむことができます。

    もちろん,極大となるところはどこか,増減の程度はどのくらいか,などの細かいところはわかりません。

    でも,そんな細かいところは分からなくても,大体の形が分かればいい場面は多いと思います。

    そんなときに役に立ちますので,覚えておきましょう。

    練習してみよう

    では,具体的な関数で,グラフの形を調べてみましょう。

    関数は\(f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}\)とします。

    定義域を確認する

    まずは,式を見て定義域を確認します。

    分母は0にならないので,定義域は\(~x \not= 1~\)となります。

    分母が0にならない,ルートの中は0以上である,などが定義域に大きく関係します。

    この時点で,\(xy\)平面が\(~x < 1 ~\)と\(~x > 1~\)の領域に分けられます。

    \(~x~\)軸,\(y~\)軸との交点を確認し,グラフが存在する領域を確定する

    \(f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}\)の分子は\(~e^x~\)なので,\(f(x)\)が\(~0~\)になることはなく,\(x~\)軸との交点は存在しません。

    また,\(f(0)=-1~\)なので,\(y~\)軸との交点は\( (0,~-1) \)です。

    次に,グラフが存在する領域を考えます。

    \(f(x)=e^x \times \dfrac{1}{x-1}\)であり,\(e^x~\)は常に正ですから,\(f(x)~\)の正負は\(\dfrac{1}{x-1}\)の正負で決まります。したがって,\(x>1~\)のとき\(f(x)>0\)であり,\(x<1~\)のとき\(f(x)<0\)です。

    ここまでで,以下の領域に\(~f(x)~\)が存在することが分かります。斜線部は「存在しない領域」です。

    極限を,大まかに調べる

    次は極限です。\(x \to +\infty\)のとき,\(e^x~\)と\(~x-1~\)はどちらも\(+\infty\)となりますが,その速さは\(~e^x~\)の方が圧倒的に早いので,結果として\(~f(x)~\)は\(+\infty\)となります。

    また,\(x \to -\infty\)のとき,\(~e^x~\)は0に近づき,\(\dfrac{1}{x-1}~\)も0に近づきます。結果として,\(~f(x)~\)は負の値をとりながら\(~0~\)に近づきます。

    この時点で,グラフはこんな感じです。

    あとは\(~x=1~\)の周辺を調べます。

    \(~x \to 1+0~\)のとき,\(e^x~\)は\(~e~\)に近づき,\(\dfrac{1}{x-1}~\)は\(+\infty\)となります。結果として\(~f(x)~\)は\(+\infty\)となります。

    また,\(~x \to 1-0~\)のとき,\(e^x~\)は\(~e~\)に近づき,\(\dfrac{1}{x-1}~\)は\(-\infty\)にとなります。結果として\(~f(x)~\)は\(-\infty\)となります。

    ということで,\(y=f(x)~\)のグラフの概形が以下のように分かりました。

    長宮慶次
    長宮慶次

    手書きで申し訳ありません(笑)。

    もちろん,この方法では分からないこととして,極小値を取る点はどのあたりにあるのか,他に極値を取る点はないのか,などがあります。でも,極値が分からなくても解ける問題はありますし,概形が分かるだけでもかなりの情報となります。使える場面はあると思いますので,ぜひマスターしておきましょう。

    早速やってみたい人は,次の関数のグラフを考えてみましょう!

    1. \(y=\dfrac{\log x}{x}\)
    2. \(y=\dfrac{x^2}{e^x}\)
    3. \(y=\dfrac{x}{(x+1)(x-2)}\)

    まとめ

    いかがでしたか?

    グラフを描くのに,何でもかんでも微分する必要はないということですね。

    長宮慶次
    長宮慶次

    ただし,「グラフの概形をかけ」や「極値を求めよ」などの問題は必ず微分しなければなりません。そこは手を抜かないように(笑)。

     

    この記事のまとめ

    微分しなくてもおおよそのグラフの形が分かれば,問題が解きやすくなることがあります。手抜きできるところは大いに手抜きしましょう(笑)。

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