【数Ⅰ】勘に頼らずにできる!因数分解のツボ(2)

高校数学のツボ

前回に続き,因数分解のツボについての記事です。 勘に頼っていると,解けるときと解けないときがあるはずです。 必ず解けるようになるために,正しい手順を身につけましょう。

前回の記事はこちらです。

勘に頼らずにできる!因数分解のツボ(1)

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〔2〕最も重要!次数の低い文字について整理する

解法にも重要性の違いはある

長宮慶次
長宮慶次

因数分解をマスターするうえで,最も大切な部分を紹介しよう。 ヒット曲には盛り上がるサビの部分があるように,フランス料理にはメインディッシュがあるように,因数分解にも最も重要な手法というものがあるのだ!

シンジ
シンジ

・・・たとえがイマイチ微妙っす・・・。早く教えてくださいよ。

「次数の低い文字について整理する」は重要なポイント

長宮慶次
長宮慶次

(・・・ちょっと恥ずかしい)コホン,因数分解で重要なこと,それは「次数の低い文字で整理する」という手法だ。学校の先生からも習っただろう?

シンジ
シンジ

うーん,聞いたことあるような気もするけど・・・因数分解だけでたくさん習ったので,そのうちの1つにあったような気がするっス。

長宮慶次
長宮慶次

そこだよ,そこが問題なんだ。教科書に練習問題がいろいろ載っているよね。それらをなんとなく解いているだけでは,重要なポイントに気付かないんだ。たくさんある因数分解の手法の中でも,最も重要な手法がこの「次数の低い文字について整理する」という手法なんだ。

シンジ
シンジ

学校の先生は,そこまでは強調していないっス。授業では淡々と問題を解いていくだけでした。

長宮慶次
長宮慶次

たぶん,問題を解かせて解説することに必死なんだろうね。ただ,解き方をいろいろ紹介するだけではまだ不十分だ。解き方には重要度に違いがあるからね。思い出してほしい。因数分解を勘に頼らずに解こう,というのがこの記事のテーマだったよね。そのための重要なポイントがここだ。因数分解のツボはここだ,と言ってもいいだろう。

シンジ
シンジ

へえ。わかりました。「次数の低い文字について整理する」ですね,しっかり覚えておきます!

例題でわかる重要性

長宮慶次
長宮慶次

では具体的に見ていこう。次の問題を利用して説明しよう。どう?解けそうかな?

因数分解しなさい。
  1. \( x^2-(a+b)x+ab \)
  2. \( x^2+xy-2y^2+2x+7y-3 \)
  3. \( a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b) \)
シンジ
シンジ

ん?(1)は公式じゃないですか。\( x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) \)ですよね?

長宮慶次
長宮慶次

もちろんそうだ。でもここはあえて公式を使わないで解いて欲しい。

シンジ
シンジ

えーと「次数の低い文字について整理する」でしたね・・・おー本当だ,ちゃんと解けたっス!

長宮慶次
長宮慶次

だろう?では全部見てみよう。

(1) \begin{align*} x^2-(a+b)x+ab=& (x^2-bx)-(x-b)a \\ =& (x-b)x-(x-b)a \\ =& (x-a)(x-b) \end{align*} (2) [ \begin{align*} x^2+xy-2y^2+2x+7y-3=& x^2+(y+2)x-(2y^2-7y+3) \\ =& x^2+(y+2)x-(2y-1)(y-3) \\ =& \left\{ x+(2y-1) \right\} \left\{ x-(y-3) \right\} \\ =& (x+2y-1)(x-y+3) \end{align*} ] (3) \begin{align*} a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)=& (b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b^2-c^2) \\ =& (b-c)\left\{ a^3-(b^2+bc+c^2)a +bc(b+c) \right\} \\ =& (b-c)\left\{ (c-a)b^2 +c(c-a)b -a(c^2-a^2) \right\} \\ =& (b-c)(c-a)\left\{ b^2+bc-a(c+a) \right\} \\ =& (b-c)(c-a)\left\{ (b-a)c +(b^2-a^2) \right\} \\ =& (b-c)(c-a)(b-a)\left\{ c+(b+a) \right\} \\ =& -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \end{align*}
シンジ
シンジ

ううう・・・(2)は何とか基本公式のたすき掛けだと気づきましたけど,(3)は難しいっス・・・

長宮慶次
長宮慶次

(3)については解説を加えよう。1行目で\(~a~\)について整理しています。そのときの\(~a~\)の係数\(~b^3-c^3,~\)定数項\(~b^2-c^2~\)はそれぞれ\( (b-c)(b^2+bc+c^2),~(b-c)(b+c) \)と因数分解できます。ですから2行目で\( (b-c) \)で括っています。

シンジ
シンジ

ふむふむ。

長宮慶次
長宮慶次

\( (b-c) \)で括った残りの右かっこの中を見ると,次数が低いのは\(~b,~c~\)です。ですから,3行目で右かっこを\(~b~\)について整理しています。すると,また\(~c-a~\)で括ることができることが分かりますので,4行目で\( (c-a) \)で括っています。

シンジ
シンジ

おお!また次数の低い文字について整理するのか!

長宮慶次
長宮慶次

まだまだ。そのあと残った右かっこを見ると,次数が低いのは\(~c~\)ですから,5行目で\(c~\)について整理します。すると,\(b-a~\)で括れることがわかるので,6行目で\((b-a)~\)で括ります。

シンジ
シンジ

おお!また使うのか!結局3回使うんですね?すげー!

長宮慶次
長宮慶次

そう,基本公式を当てはめても分からない場合は,この「次数が低い文字について整理する」という手法を使えば,かなり見えやすくなるはずだ。「困った時の神頼み」ということわざがあるが,「困ったときには整理する」も新しいことわざとして覚えておいてくれ!

シンジ
シンジ

・・・(笑ってほしいのかもしれないが,スルーしておこう)・・・ちなみに最後の7行目はいるんですか?

長宮慶次
長宮慶次

ここは,数学的には6行目と変わらないのだが,慣例としてこう変形するようになっている。\(a \to b \to c \to a \)と循環するよう整理するんだ。そうした方が美しいだろう?

シンジ
シンジ

わかるようなわからないような・・・数学ができる人って,それまでずっと理論的に話していたのに,いきなり「美しい」なんて情緒的な言葉を使うんだよなあ・・・それって矛盾してるように見えるんスけど・・・

長宮慶次
長宮慶次

えっ?何か言った?

シンジ
シンジ

いえ,何でもないっス。(まだ3番目の話を聞いていないので,機嫌を損ねないようにしとこう。)

次の記事,「勘に頼らずにできる!因数分解のツボ(3)」に続く。

この記事のまとめ

POINT

  • ただ数をこなすだけでは,重要性に気付かない
  • 「次数の低い文字について整理する」のは因数分解において最も重要な手法
  • 「困ったときには整理する」は新しいことわざ?

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