こんにちは！独学サポートコーチ長宮慶次です。
グラフを描くのが面倒くさいなあ・・・と感じたことはありませんか？
数Ⅱまでなら，3次関数や4次関数だから，概形はすぐに分かります
でも数Ⅲになると，複雑な関数は式を見ただけでは，グラフの概形が分かりませんよね
「だから面倒くさくても，微分して増減表を描かなきゃなあ・・・」
いえいえ，実は，式を見ればグラフの概形は分かるのです。微分しなくても。
その方法をお伝えしましょう
「グラフを描け」という問題では使えません。そのときはちゃんと微分して求めましょう。
微分せずにグラフを描く手順
まずは手順を確認しましょう。そのあと，具体的な関数で練習をしてみます。
手順は以下の通りです。
- 定義域を確認する
- \(~x~\)軸，\(y~\)軸との交点を確認し，グラフが存在する領域を確定する
- 極限を，大まかに調べる
これでOK。大体の形はつかむことができます。
もちろん，極大となるところはどこか，増減の程度はどのくらいか，などの細かいところはわかりません。
でも，そんな細かいところは分からなくても，大体の形が分かればいい場面は多いと思います。
そんなときに役に立ちますので，覚えておきましょう。
練習してみよう
では，具体的な関数で，グラフの形を調べてみましょう。
関数は\(f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}\)とします。
定義域を確認する
まずは，式を見て定義域を確認します。
分母は0にならないので，定義域は\(~x \not= 1~\)となります。
分母が0にならない，ルートの中は0以上である，などが定義域に大きく関係します。
この時点で，\(xy\)平面が\(~x < 1 ~\)と\(~x > 1~\)の領域に分けられます。
\(~x~\)軸，\(y~\)軸との交点を確認し，グラフが存在する領域を確定する
\(f(x)=\dfrac{e^x}{x-1}\)の分子は\(~e^x~\)なので，\(f(x)\)が\(~0~\)になることはなく，\(x~\)軸との交点は存在しません。
また，\(f(0)=-1~\)なので，\(y~\)軸との交点は\( (0,~-1) \)です。
次に，グラフが存在する領域を考えます。
\(f(x)=e^x \times \dfrac{1}{x-1}\)であり，\(e^x~\)は常に正ですから，\(f(x)~\)の正負は\(\dfrac{1}{x-1}\)の正負で決まります。したがって，\(x>1~\)のとき\(f(x)>0\)であり，\(x<1~\)のとき\(f(x)<0\)です。
ここまでで，以下の領域に\(~f(x)~\)が存在することが分かります。斜線部は「存在しない領域」です。
極限を，大まかに調べる
次は極限です。\(x \to +\infty\)のとき，\(e^x~\)と\(~x-1~\)はどちらも\(+\infty\)となりますが，その速さは\(~e^x~\)の方が圧倒的に早いので，結果として\(~f(x)~\)は\(+\infty\)となります。
また，\(x \to -\infty\)のとき，\(~e^x~\)は0に近づき，\(\dfrac{1}{x-1}~\)も0に近づきます。結果として，\(~f(x)~\)は負の値をとりながら\(~0~\)に近づきます。
この時点で，グラフはこんな感じです。
あとは\(~x=1~\)の周辺を調べます。
\(~x \to 1+0~\)のとき，\(e^x~\)は\(~e~\)に近づき，\(\dfrac{1}{x-1}~\)は\(+\infty\)となります。結果として\(~f(x)~\)は\(+\infty\)となります。
また，\(~x \to 1-0~\)のとき，\(e^x~\)は\(~e~\)に近づき，\(\dfrac{1}{x-1}~\)は\(-\infty\)にとなります。結果として\(~f(x)~\)は\(-\infty\)となります。
ということで，\(y=f(x)~\)のグラフの概形が以下のように分かりました。
手書きで申し訳ありません(笑)。
もちろん，この方法では分からないこととして，極小値を取る点はどのあたりにあるのか，他に極値を取る点はないのか，などがあります。でも，極値が分からなくても解ける問題はありますし，概形が分かるだけでもかなりの情報となります。使える場面はあると思いますので，ぜひマスターしておきましょう。
早速やってみたい人は，次の関数のグラフを考えてみましょう！
- \(y=\dfrac{\log x}{x}\)
- \(y=\dfrac{x^2}{e^x}\)
- \(y=\dfrac{x}{(x+1)(x-2)}\)
まとめ
いかがでしたか？
グラフを描くのに，何でもかんでも微分する必要はないということですね。
ただし，「グラフの概形をかけ」や「極値を求めよ」などの問題は必ず微分しなければなりません。そこは手を抜かないように(笑)。
微分しなくてもおおよそのグラフの形が分かれば，問題が解きやすくなることがあります。手抜きできるところは大いに手抜きしましょう(笑)。
