【数Ⅲ】積の微分と商の微分の公式はここまで勉強しておこう！

「公式は知っていると思うけど，イマイチ自信がない・・・」
「勉強はしてるんだけど，点数が伸びない・・・」

高校数学を勉強していて，そんな悩みはありませんか？

まずは，高校数学の公式をあやふやにしていないか，しっかりと確認しましょう。

でもそれだけではダメ。点数を伸ばすためには，さらに必要なことがあります。

それは・・・

教科書に載っていないかもしれないけれど，実戦的に使える知識を増やすことです！

この記事を読んで，あなたの成績を伸ばすきっかけをつかみましょう！

この記事が役に立つ人

積の微分・商の微分を学んだ高校生・受験生
実戦的な知識が身についていない高校生・受験生

積の微分
1. 公式を確認しよう
2. 3つの積でも微分できます
商の微分
まとめ

積の微分

公式を確認しよう

積の微分公式 \begin{align*} \left\{ f(x)g(x) \right\}’ =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align*}

この公式は比較的覚えやすい方だと思います。使い方も，さほど難しくありません。

普通はまあこれで終わりなんですが，実戦的には次の公式まで頭に入れておくと良いでしょう。

3つの積でも微分できます

3つの積の微分公式

\begin{align} \left\{ f(x)g(x)h(x) \right\}’=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) \end{align}

【証明】 \begin{align*} \left\{ f(x)g(x)h(x) \right\}’&=\left\{ f(x)g(x) \right\}’h(x) +\left\{ f(x)g(x) \right\}h'(x) \\ &=\left\{f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \right\}h(x) +\left\{ f(x)g(x) \right\}h'(x) \\ &=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x) \end{align*}

面白いと思いませんか？

要するに，積の形を微分するときは，一つずつ微分したものを足しあわせればよいのです。

もちろん，3つでなく4つ，5つ，・・・と増えても同じことです。

これはときどき入試問題で出題されますし，計算過程で使える場面もあります。教科書に載っていなくても，このあたりまで知っておきましょう。

商の微分

公式を確認しよう

次は商の微分です。

商の微分 \begin{align*} \left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}’=\frac{　f'(x)g(x)-f(x)g'(x)　}{ \left\{ g(x) \right\}^2　} \end{align*}

商の微分は計算ミスが多い公式の一つです。

公式通り計算した例題を示しましょう。

関数\(~y=\dfrac{1+x^2}{1-x^2}\)を微分せよ。

【解答1】 \begin{align} y’&=\frac{ (1+x^2)'(1-x^2)-(1+x^2)(1-x^2)’}{(1-x^2)^2} &\cdots (1)\\ &=\frac{ 2x(1-x^2)-(1+x^2)\cdot (-2x)}{(1-x^2)^2} &\cdots (2)\\ &=\frac{2x \left\{ (1-x^2)+(1+x^2) \right\} }{(1-x^2)^2} &\cdots(3)\\ &=\frac{4x}{(1-x^2)^2} &\cdots(4) \end{align}

ミスを防ぐため，実戦的にはどんな知識・手法が必要でしょうか。

上の例題を見ながら考えていきましょう。

分子は微分するところとしないところを明確にする

まず，（1）(2)のところ，分子の微分したところと微分しなかったところを，明確に分けましょう。

いい加減な書き方をしてしまうと，ミスに繋がります。

慣れたら，(1)は書かなくてもいいかもしれません。

分母は展開しない

全体を通じて，分母は展開しないようにしましょう。

なぜなら，分母と分子が約分できることがあるからです。

そのときに分母を展開してしまっていると，約分できることに気付かず，面倒な計算をしなければならなくなります。

数学が苦手な人は，とりあえず展開はできる！と思って分母を展開してしまうことが多いようです。約分するために「分母は展開しない」ことを覚えておきましょう。

割ってから微分してもよい

分数の形を見たとき，分母と分子の次数を必ずチェックしましょう。

これは，数Ⅲの微分だけにとどまらず，あらゆる場面（例えば整数，積分，関数など）で使えます。

次のように，分子を分母で割ってから計算すると，分数の形がシンプルになり，計算しやすくなります。

【解答2】 \begin{align*} y=\frac{1+x^2}{1-x^2}=\frac{-(1-x^2)+2}{1-x^2}=-1+\frac{2}{1-x^2} \end{align*} よって \begin{align*} y’&=\frac{ -2(1-x^2)’}{(1-x^2)^2} \\ &=\frac{4x}{(1-x^2)^2} \end{align*}

どうですか？かなり簡単になりましたね。ミスも減らせるのではないでしょうか。

積の微分で解いてもよい

商の形を積の形にし，商の微分ではなく，積の微分を用いることもできます。

商の微分ではよくミスする人も，積の微分だとミスが少なくなるでしょう。意外と有効です。

【解答3】 \begin{align*} y=\dfrac{1+x^2}{1-x^2}=\left( 1+x^2 \right) \left( 1-x^2 \right)^{-1} \end{align*} 積の微分公式を用いて \begin{align*} y’&=\left( 1+x^2 \right)’ \left( 1-x^2 \right)^{-1}+ \left( 1+x^2 \right) \left\{ \left( 1-x^2 \right)^{-1} \right\}’ \\ &=2x \left( 1-x^2 \right)^{-1}- \left( 1+x^2 \right) \left( 1-x^2 \right)^{-2}(-2x) \\ &=\left( 1-x^2 \right)^{-2} \left\{ 2x \left( 1-x^2 \right)+2x \left( 1+x^2 \right) \right\} \\ &=\frac{4x}{\left( 1-x^2 \right)^2} \end{align*}

括弧でくくるところを丁寧にやれば，比較的ミスが少ない手法だといえると思います。使ってみて下さい。